1.      Irisan Dua Himpunan

Irisan himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan himpunan dari anggota himpunan A dan B. Irisan himpunan A dan B dinotasikan A . Adapun bentuk umum irisan sebagai berikut :

Diagram Venn irisan dua himpunan sebagai gambar berikut :

Contoh :

a.       Diketahui jika A = {3,4,5} dan B = {3,5,6,7,8}, maka  = {3, 5}.

b.      Diketahui jika A = {1,3,6,8} dan B = {2,5,7}, maka  =

2.      Gabungan dua Himpunan

Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan himpunan anggota A atau himpunan anggota B atau anggota kedua duanya. Gabungan himpunan A dan B dinotasikan . Adapun bentuk umum gabungan sebagai berikut :

Diagram Venn gabungan dua himpunan sebagai gambar berikut :

Contoh :

a.       Diketahui jika A = {3,4,5} dan B = {3,5,6,7,8}, maka  = {3,4,5,6,7,8}

b.      Diketahui jika A = {1,3,6,8} dan B = {2,5,7}, maka  = {1,2,3,5,6,7,8}

K = { k, o, m, p, a, s }

L = { m, a, s, u, k }

 LÈK   =  {  k, o, m, p, a, s, u }

P = { faktor dari 10 }

Q = { tiga bilangan prima pertama }

Q = . . . .ÈP

Pembahasan :

P = { 1, 2, 5, 10 }

Q = { 2, 3, 5 },

maka :

QÈP   = { 1, 2, 3, 5, 10 }

3.      Selisih Dua Himpunan

Selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota dari A tetapi bukan anggota dari B. Selilih himpunan A dan B dinotasikan A – B. Adapun bentuk umum selisih dua himpunan sebagai berikut :

Diketahui A = {a, b, c, d} dan B = {a, c, f, g}.

Selisih A dan B adalah A – B = {a, b, c, d} – {a, c, f, g} = {b,d}, sedangkan selisih B dan A adalah B – A = {a, c, f, g} – {a, b, c, d} = {f, g}.

Contoh Soal

Diketahui S = {1, 2, 3, …, 10} adalah himpunan semesta. Jika P = {2, 3, 5, 7} dan Q = { 1, 3 , 5 , 7 , 9 }, tentukan

a. anggota S – P;

b. anggota P – Q;

c. anggota Q – P.

Penyelesaian:

a.       S – P = {1, 2, 3, …, 10} – {2, 3, 5, 7}

S – P = {1, 4, 6, 8, 9, 10}

b.      P – Q = {2, 3, 5, 7} – {1, 3, 5, 7, 9}

P – Q = {2}

c.        Q – P = {1, 3, 5, 7, 9} – {2, 3, 5, 7}

Q – P = {1, 9}.

4.      Komplemen Suatu Himpunan

Komplemen himpunan A didefinisikan sebagai suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota S tetapi bukan anggota A. Misalkan A merupakan himpunan yang berada pada semesta pembicaraan S, maka komplemen dari himpunan A dinotasikan oleh :

A^C = { x | x ∈ U dan x ∉ A }

Diagram Venn komplemen suatu himpunan sebagai gambar berikut :

Contoh:

S = { 1, 2, 3, ..., 9 },

jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A^C = {2, 4, 5, 6, 8}

5.      Perkalian Dua Himpunan

Hasil Kali Kartesian atau perkalian himpunan merupakan operasi yang menggabungkan anggota suatu himpunan dengan himpunan lainnya. Perkalian himpunan antara A dan B didefinisikan dengan A × B. Anggota himpunan | A × B | adalah pasangan terurut (a,b) dimana a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B.

A × B = {(a, b) | a ∈ A dan b ∈ B }

Contoh 1:

A= {1, 2, 3}, dan B = { x,y }, maka

A × B = { (1, x), (1, y), (2, x), (2, y), (3, x), (3, y) }

      Contoh 2:

A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m = mie rebus}

B = himpunan minimum = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet}

Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas?

Jawab

| Ax B | = | A| . | B | = 4.3 = 12

kombinasi makanan dan minuman, yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t),(m, d)}.

6.      Sifat – sifat operasi pada himpunan

a.       Komutatif

Diberikan himpunan A dan B. Maka berlaku  =  dan juga  = 

Contoh:

A = {1, 2, 3, 4}

B = {3, 4, 5}

C = {4, 5, 6}

maka A ˆ∩ B = {3, 4} dan B ∩ A = {3, 4}.

Tampak bahwa A ∩ B = B ∩ A.

b.      Asosiatif

Diberikan himpunan A, B dan C.

Maka berlaku () = () dan juga ()= (). Berdasarkan himpunan A, B, dan C di atas dapat diketahui bahwa

A ∩ B = {3, 4} dan B ∩ C = {4, 5}, sehingga

(A ∩ B) ∩ C = {3, 4} ∩ {4, 5, 6} = {4}

A ∩ (B ∩ C) = {1, 2, 3, 4} ∩ {4, 5} = {4}

Tampak bahwa (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

c.       Idempoten

Diberikan suatu himpunan A. Maka berlaku  =A dan juga = A

Conoth :

Jika A = {1, 2, 3, 4}

Maka A ∩ A = {1, 2, 3, 4} ∩ {1, 2, 3, 4}

A ∩ A = {1, 2, 3, 4}

A ∩ A = A

Jadi, A ∩ A = A.

d.      Identitas

Diberikan suatu himpunan A dalam semesta S. Maka= S dan juga =A

Contoh :

Diketahui S = himpunan bilangan asli kurang dari 10 dan A= {2, 3, 5, 7}. Tentukan:

a.     A ∩ S

b.    A ∪ S

Penyelesaian:

S = himpunan bilangan asli kurang dari 10 maka S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

a.    A ∩ S = {2, 3, 5, 7} ∩ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

A ∩ S = {2, 3, 5, 7}

A ∩ S = A

b.    A ∪ S = {2, 3, 5, 7} ∪ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

A ∪ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

A ∪ S = S

e.       Distributif

Diberikan himpunan A,B dan C.

Maka () = ()() dan juga ()=()()

Contoh:

Diketahui himpunan A = {1, 2, 3, 4, ..., 10}, B = {2, 4, 6, 8, 10} dan C = {1, 3, 5, 7, 9}. Tunjukkan bahwa A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B).

Penyelesaian:

Langkah pertama, tentukan hasil dari A ∩ (B ∪ C).

A ∩ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10} ∩ ({2, 4, 6, 8, 10} ∪ {1, 3, 5, 7, 9})

A ∩ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10} ∩ {1, 2, 3, 4, ..., 10}

A ∩ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10}

Langkah kedua tentukan hasil dari (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

(A ∩ B) = {1, 2, 3, 4, ..., 10} ∩ {2, 4, 6, 8, 10}

(A ∩ B) = {2, 4, 6, 8, 10}

(A ∩ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10} ∩ {1, 3, 5, 7, 9}

(A ∩ C) = {1, 3, 5, 7, 9}

(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {2, 4, 6, 8, 10} ∪ {1, 3, 5, 7, 9}

(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10}

Dengan membandingkan hasil akhir langkah pertama dan kedua, dapat ditunjukkan bahwa A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B).

f.       Komplementer

Diberikan suatu himpunan A dalam semesta S. Maka ^C = S dan  ^C = 

Contoh:

Diketahui S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} dan L = {6, 8, 9, 10, 11}. Tentukan L ∩ Lc .

Penyelesaian:

Lc adalah semua anggota himpunan S yang bukan anggota himpunan bagian dari himpunan L, sehingga Lc = {2, 3, 4, 5, 7}. Dengan demikian, diperoleh:

L ∩ Lc = {6, 8, 9, 10, 11} ∩ {2, 3, 4, 5, 7}

L ∩ Lc = { }

L ∩ Lc = ∅

Jadi, L ∩ Lc = ∅.